برعکس، اگر و به ترتیب توزیع شرطی و باشند و مفصل شرطی باشد آنگاه، تابع تعریف شده در (۱-۸)، تابع توزیع دومتغیره شرطی با توزیعهای کناری شرطی و است.
۱-۴ اسپلاینها
اسپلاین یک تابع چندجملهای هموار است که به صورت تکهای تعریف می شود و در نقاطی که تکهها به هم وصل میشوند دارای درجه همواری خوبی است.
این تکهها با دنبالهای از گرههای
تعریف میشوند. به طوری که تکهها در گرهها بهم میپیوندند.
سادهترین حالت، اسپلاین خطی است.
برای یک اسپلاین درجه ، معمولاً چندجملهایها و مشتق اول آنها، در گرهها مورد نیاز است، به طوری که مشتق پیوستهاند.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
اسپلاین درجه را میتوان بهعنوان یک سری توانی ارائه داد:
که در آن
مثال۱-۲: اسپلاین خطی با یک گره
متداولترین اسپلاینها، اسپلاینهای مکعبی است:
که در طول این پژوهش از این اسپلاین استفاده می شود.
۱-۴-۱ اسپلاینهای درونیاب
فرض کنید، مقدار تابع را در نقطه بدانیم و بخواهیم برای سایر ها درونیابی کنیم.
اگر از یک اسپلاین درجه با گرههایی در های مشاهده شده استفاده کنیم، تنها با مشاهده، پارامتر برای برآورد داریم. بدیهی است که قیدهایی لازم است. در ادامه دو نمونه از اسپلاینهای درونیاب ارائه شده است.
۱-۴-۱-۱ اسپلاینهای طبیعی
اسپلاین درجه فرد ، که خارج از دامنه گرهها (برای مثال کمتر از یا بیشتر از ) چندجملهای از درجه است، اسپلاین طبیعی نامیده می شود.
برای یک اسپلاین طبیعی
که این دقیقاً ، قید تحمیل می کند، بنابراین پارامتر کنار گذاشته می شود. اسپلاین طبیعی مکعبی خارج از دامنه داده ها خطی است. اسپلاین طبیعی مکعبی به صورت زیر نشان داده می شود:
به شرط قیدهای و ، به طوری که تا پایان پارامتر داریم.
۱-۴-۱-۲ اسپلاینهای مقید
این اسپلاین برای نشان دادن سایر قیدهای مرزی ارائه شده است برای مثال، هرگاه تابع در دنباله گرههای
تعریف شده باشد، اسپلاین و بعضی مشتقاتش در نقاط و ثابت در نظر گرفته میشوند. به عنوان مثال، برای اسپلاین مکعبی، چهار قید لازم است بنابراین میتوان مقادیر اسپلاین و مشتق اول آن در نقاط و یعنی، ، ، و را ثابت در نظر گرفت. معمولاً، این مقدار ثابت را صفر در نظر میگیرند.
۱-۴-۲ رگرسیون اسپلاین
رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره، شکلی از تحلیل رگرسیونی هستند. این روش رگرسیونی، یک روش رگرسیونی ناپارامتری است و می تواند بهعنوان بسطی از مدلهای خطی که به صورت خودکار مدلهای غیرخطی و اثرمتقابل بین متغیرها را مدلبندی می کند، در نظر گرفته شود.
۱-۴-۲-۱ مدل رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره
رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره، مدلهایی به شکل زیر میسازد:
این مدل، مجموع وزنی توابع پایه است که در آن هر ، ضریب ثابت است. هر تابع پایه به سه شکل زیر در نظر گرفته می شود:
-
- ثابت یک.
-
- تابع هینگ. تابع هینگ به شکل یا است. رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره، متغیرها و مقادیر این متغیرها را به ازای گرههای توابع هینگ انتخاب می کند.
-
- حاصلضرب دو یا بیشتر از توابع هینگ. این تابع پایه می تواند اثرمتقابل بین دو یا بیشتر از دو متغیر را مدلبندی کند.
۱-۴-۲-۲ توابع هینگ
توابع هینگ بخش کلیدی مدلهای رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره هستند. تابع هینگ به شکل یا است، که در آن ، یک ثابت است که گره نامیده می شود.
۱-۴-۲-۳ فرآیندهای ساخت مدل
رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره در یکی از دو گام، گام پیشرو یا گام پسرو ساخته می شود.
۱-۴-۲-۳-۱ گام پیشرو
رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره با مدلی که تنها شامل یک ثابت (میانگین متغیرهای وابسته) است، شروع می شود. سپس تابع پایه دوتا دوتا به مدل اضافه می شود و در هر گام، جفتی از توابع پایه که ماکسیمم کاهش در مجموع توان دوم خطای ماندهها را داراست، وارد می شود. هر تابع پایه جدید به واسطه تابع هینگ جدید شامل بخشی است که قبلاً در ضریب مدل (مثلاً ثابت یک) بوده است. تابع هینگ با یک متغیر و یک گره تعریف می شود، بنابراین برای افزودن یک تابع پایه جدید، میبایست شرایط زیر را بررسی کرد:
-
- وجود بخشها (که در مفهوم بخشهای مولد نامیده می شود).
-
- همه متغیرها (برای انتخاب یکی از آنها به ازای هر تابع پایه جدید).
-
- مقدار هر متغیر (به ازای گرهی تابع هینگ جدید).
این فرایند افزودن بخشها تا وقتی که تغییر در خطای مانده خیلی کوچک است یا ماکسیمم تعداد بخشها به دست می آید، ادامه دارد. ماکسیمم تعداد بخشها به وسیله کاربر قبل از شروع ساخت مدل تعیین می شود.
۱-۴-۲-۳-۱ گام پسرو
