از دیگر پارامترهای مهم جهت صحت­سنجی مدل­های پیش ­بینی، نسبت مقدار پیش ­بینی شده به اندازه ­گیری شده(  ) می­باشد. این نسبت برای فشار پیزومتری،. به صورت تئوری بین حد پایین نامحدود تا حد بالای نامحدودی قرار می‌گیرد. این نتایج توزیع نامتقارنی در اطراف میانگین دارند که برای پیش بینی‌های بالادست^[۵۷] و پایین دست^[۵۸] مقدارهای برابری نمی‌دهند]۳۰(Zhang and Tsai, 2007) [. بنابراین در این مطالعه، علاوه بر پارامترهای آماری فوق، برای ارزیابی بهتر مدل­ها، استفاده از هیستوگرام و توزیع نرمال^[۵۹] مقادیر α پیشنهاد شد. توزیع نرمال به صورت توزیعی با چگالی زیر تعریف می‌شود:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

که در آن:
و
در تحلیل‌های آماری، میانگین (µ) و انحراف معیار (σ) مقادیر α، شاخص‌های مهمی در دقت و صحت روش‌های پیش ­بینی هستند. میانگین و انحراف معیار ایده آل به ترتیب ۱ و ۰ می‌باشند، به این معنی که مقدار  برای تمامی موارد برابر ۱ باشد، هر چند که این حالت ایده آل است. اما در واقعیت روشی بهتر است که میانگین آن نزدیکتر به واحد و انحراف معیار آن به صفر نزدیک­تر باشد ]۳۱(Shahin, 2003) [.
لانگ و ویسوکی^[۶۰] پیشنهاد کردند که احتمال تجمعی^[۶۱] نیز می‌تواند به عنوان معیاری برای ارزیابی روش‌های پیش ­بینی بکار رود. بدین منظور، مقادیر α برای هر روش به صورت صعودی مرتب شده و هر یک از این مقادیر به ترتیب شماره گذاری می‌شوند  و مقدار احتمال تجمعی از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید]۳۲(Long and Wysockey, 1999) [:

که در آن i، عدد منتصب به هر یک از نسبت‌ها و n تعداد کل داده‌ها می‌باشد.
سپس نمودار α بر حسب احتمال تجمعی رسم می‌شود. احتمال تجمعی ۵۰% (P₅₀) به عنوان معیاری برای کیفیت­سنجی روش‌های پیش ­بینی بکار می‌رود. P₅₀ تمایل روش به پیش ­بینی بالادست یا پایین دست را مشخص می‌کند. روشی بهتر است که مقدار متناظر α به ازای P₅₀ نزدیک به واحد داشته باشد.
در این فصل به منظور ارزیابی و مقایسه عملکرد مدل‌ پیشنهاد شده، از ۴ معیار مختلف استفاده شده است:

1. 1. نمایش بهترین خط همبستگی^[۶۲] برای مقادیر پیش بینی شده (P)_P، در مقابل مقادیر اندازه گیری­شده (P)_M به همراه پارامترهای آماری ضریب تعیین (R²)، ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE)، میانگین خطاها(Bias) و ضریب پراکندگی (SI).

1. 1. میانگین حسابی (µ) و انحراف معیار (σ) برای مقادیر α.

1. 1. احتمال تجمعی ۵۰ و ۹۰% (P₅₀ & P₉₀) مقادیرα.

1. 1. هیستوگرام و توزیع نرمال برای مقادیر α.

نمودار پراکندگی فشار پیزومتری پیش ­بینی شده (P)_P، در مقابل فشار پیزومتری اندازه ­گیری شده (P)_M، در شکل (۴-۱) ارائه شده است. پارامترهای آماری شامل ضریب تعیین (R²)، ریشه میانگین مربعات خطاها (RMSE) و ضریب پراکندگی (SI) محاسبه شده ­اند. دقت روش هنگامی مناسب است که مقادیر R² نزدیکتری به یک، RMSE و SI نزدیک به صفر داشته باشد. بر اساس این معیارها، مدل شبکه‌ی عصبی ارائه شده (ANN) با R²=0.930، RMSE=19.124 kPa و SI=8.587 عملکرد بسیار قابل قبولی در پیش ­بینی فشار پیزومتری دارد.
در معیار دوم ارزیابی از میانگین (µ) و انحراف معیار (σ) مقادیر α استفاده شده است. این مقادیر در جدول (۴-۶) ارائه شده ­اند. با توجه به نزدیک بودن میانگین و انحراف معیار به اعداد ۱ و ۰ در مدل شبکه عصبی ارائه شده، عملکرد مدل براساس این پارامتر مورد قبول می­باشد.
معیار سوم ارزیابی بر پایه‌ی محاسبه‌ی احتمال تجمعی ۵۰ و ۹۰ درصد مقادیر α استوار است. در شکل (۴-۲) نمودار α بر حسب احتمال تجمعی برای هر دو مدل رسم شده است. مقادیر P₅₀ و P₉₀ برای هر روش تعیین و در جدول (۴-۶) ارائه شده‌اند. از منظر این معیار در صورتی روش عملکرد قابل قبولی دارد که مقدار P₅₀ نزدیک به یک و محدوده­ (P₅₀-P₉₀) کوچک‌تری داشته باشد. مدل شبکه عصبی ارائه شده دارای P₅₀=0.94 و P₉₀=1.742 می­باشد.
معیار چهارم برای ارزیابی عملکرد مدل ارائه شده، بر پایه‌ی استفاده از توزیع نرمال می‌باشد. هیستوگرام و توزیع نرمال مقادیر α برای مدل ارائه شده در شکل (۴-۳) رسم گردیده است. شکل منحنی بستگی به میانگین (µ) و انحراف معیار(σ) دارد. مرکز و وسعت آن به ترتیب نشان دهنده میانگین(µ) و انحراف معیار(σ) می باشند. بیشتر مقادیر اطراف میانگین می باشد، اما بعضی مقادیر کوچکتر و برخی بزرگتر می باشند. نکته حائز اهمیت در این نمودار محل قرارگیری ماکزیمم مقدار می‌باشد، به طوری که هر چه به خط عبوری از عدد یک ((P)_P/(P)_M =۱) نزدیکتر باشد، دقیق‌تر بودن مدل را می‌رساند.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
پراکندگی مقادیر فشار پیزومتریک پیش ­بینی شده در مقابل مقادیر فشار پیزومتریک اندازه ­گیری شده بر حسب (kPa) برای مجموعه داده ­های مختلف
پراکندگی مقادیر فشار پیزومتریک پیش ­بینی شده در مقابل مقادیر فشار پیزومتریک اندازه ­گیری شده بر حسب (kPa) برای داده ­های آزمون
(a)
(b)
نمودار احتمال تجمعی مقادیر α

(a)

(b)
: نمودار توزیع نرمال مقادیر α (a) آموزش (b) آزمون

(a)

(b)
هیستوگرام مقادیر α (a) آموزش (b) آزمون
ارزیابی عملکرد مدل پیشنهاد­شده توسط پارامترهای آماری برای داده‌های آزمون