برای حل آن پارامتر را به گونه­ زیر تعریف می­کنیم

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۳-۲-۱۹)
که دارای جواب­های
(۳-۲-۲۰)
می­باشد.که ها با حل معادله­ ۳-۲-۱۹ که درجه­ دو می­باشد به صورت زیر به دست می­آیند .
(۳-۲-۲۱)
پس جواب عمومی برای این معادله دیفرانسیل به صورت زیر می­باشد.
(۳-۲-۲۲)
و ثابت هستند.
با روش تغییر متغیرها و کاهش مرتبه، جواب­های خصوصی معادله دیفرانسیل ۳-۲-۱۶ را به صورت زیر می­نویسیم.
(۳-۲-۲۳)
در این­جا و متغیر­های مجهولی هستند که با بهره گرفتن از روش تغییر متغیرها و کاهش مرتبه جای ثابت­های و را می­گیرند.
با جایگذاری روابط ۳-۲-۲۰ درون ۳-۲-۲۳، جواب خصوصی را به صورت زیر داریم.
(۳-۲-۲۴)
با در نظر گرفتن شرط زیر برای کاهش مرتبه
(۳-۲-۲۵)
که در آن و به ترتیب مشتقات u و v نسبت به شعاع هستند؛ و با مشتق گیری نسبت به شعاع از رابطه­ ۳-۲-۲۴
(۳-۲-۲۶)
نتیجه می­گیریم:
(۳-۲-۲۷)
و
(۳-۲-۲۸)
اکنون برای ساده­سازی در نوشتن، پارامترهای مستقل و ثابت زیر را تعریف می­کنیم.
(۳-۲-۲۹)
پس معادله دیفرانسیل ۳-۲-۱۶ را می­توانیم به صورت خلاصه­ی زیر بنویسیم.
(۳-۲-۳۰)
با توجه به بخش ۳-۲-۱ به روابط زیر می رسیم.
(۳-۲-۳۱)
رونسکین آن­ها و یا به عبارتی دیگر مخرج آن­ها را می­توانیم به صورت ساده تر زیر بنویسیم.
(۳-۲-۳۲)
بنابراین روابط ۳-۲-۳۱ را می­توانیم به شکل ساده­تر زیر بنویسیم.
(۳-۲-۳۳)
با انتگرال­گیری از معادلات بالا به جواب­های زیر می­رسیم.
(۳-۲-۳۴)
اگر پارامترهای ثابت دیگر زیر را تعریف کنیم
(۳-۲-۳۵)
روابط ۳-۲-۳۴ را می­توانیم به صورت ساده­تر زیر بنویسیم.
(۳-۲-۳۶)
در نتیجه رابطه­ تنش را به صورت زیر داریم.
(۳-۲-۳۷)
همچنین این رابطه را نیز می­توانیم به صورت زیر بنویسیم.
(۳-۲-۳۸)
با دانستن شرایط مرزی زیر
(۳-۲-۳۹)
و اعمال آن­ها روی رابطه­ تنش ۳-۲-۳۷ می­توانیم ثابت­های و را به دست آوریم. و به ترتیب تنش شعاعی در شعاع درونی a و شعاع بیرونی b می­باشند. و p مقدار فشار داخلی است که چون به صورت فشاری است با علامت منفی نشان داده شده است. اکنون شرایط مرزی را روی رابطه­ تنش اعمال می­کنیم.
(۳-۲-۴۰)
در آن و و و با جایگذاری a و b در u و v در رابطه­ ۳-۲-۳۶ به دست می­آیند.
با تفریق کردن رابطه­ های ۳-۲-۴۰، به رابطه­ زیر می­رسیم.
(۳-۲-۴۱)
پس در نتیجه
(۳-۲-۴۲)
با بهره گرفتن از روابط ۳-۲-۱۰ و ۳-۲-۳۸ می­توانیم تنش مماسی که به صورت زیر است را به دست آوریم.
(۳-۲-۴۳)
اختلاف بین تنش­های مماسی و شعاعی به صورت زیر نمایش داده می­شوند.
(۳-۲-۴۴)
۳-۲-۱- تغییر پارامترها و کاهش مرتبه
معمولاً یافتن انتگرالی خصوصی از یک معادله دیفرانسیل خطی ناهمگن از راه تجسس یا با پیش بینی صورت تحلیلی آن ممکن نیست. ولی این امر هیچ مشکل جدی پیش نمی­آورد زیرا هرگاه تابع مکملی از یک معادله­ استاندارد معلوم باشد، روشی عمومی وجود دارد که همیشه می توان آن را برای یافتن یک انتگرال خصوصی به کار برد. در یک معادله­ مرتبه­ی دوم این روش را نشان می­دهیم.
(۳-۲-۱-۱)