محل تقاطع OA و ‘PP را با ”A می نامیم . چون ”A با هزینه C برابر است پس ”A بر حسب هزینه می‌تواند جایگزین C بشود. نسبت را کارایی تخصیصی می‌نامند که کاهش در هزینه را با بهره گرفتن از ترکیب مناسب ورودی نشان می‌دهد . با ترکیب این دو کارایی ، کارایی کلی تعریف می شود و مقدار صورت -۱ نا کارایی کلی را نشان می‌دهد که کاهش ممکن در هزینه را بیان می‌دارد و از تعویض مقدار ورودی های مشاهده شده A با مقدار ورودی های واحدی که دارای حداقل هزینه ورودی است به دست می‌آید . ( مهرگان ، محمدرضا.۵۵، ۱۳۸۳ ).

۲-۷)واحد مجازی

منظور از کارایی نسبی، مقایسه کارایی یک واحد با واحد های دیگری که ورودی و خروجی های نسبتا مشابهی دارد ، می‌باشند . روش های مختلفی برای اندازه گیری کارایی نسبی وجود دارد که برخی از آن ها روش های متداول مطرح شده در علم اقتصاد می‌باشد . دو مفهوم اساسی زیر در تعیین کارایی واحد ها وجود دارد .

الف) مبنای روش ( تحلیل پوششی داده ها ) بر ای فرضیه اساسی قرار دارد که اگر واحد A بتواند خروجی بیشتری نسبت به واحد B ولی با همان میزان ورودی ( ورودی مشابه و یکسان ) ارائه کند واحد Aاز واحد B کارا تراست .

ب) در صورتی که واحد A بتواند با میزان مشخصی ورودی ، مقدار مشخصی خروجی را ارائه کند ، این توقع وجود دارد که سایر واحد های مشابه بتوانند با همان میزان ورودی ، خروجی مشابهی را عرضه کنند و متشابها، اگر واحد B با مقدار مشخصی ورودی توانایی تولید میزان معینی خروجی را داشته باشد ، باز هم این انتظار وجود دارد که سایر این واحد ها نیز بر این امر توانا باشند. حال می توان واحد های Aو B و سایر واحد ها را مخلوط و از آن یک ترکیب با ترکیبی از ورودی ها و خروجی های واحد ها ساخت . اما از آنچه که واحدی با ویژگی های این ترکیب وجود ندارد ، یک واحد مجازی ساخته می شود .

پیدا کردن بهترین واحد مجازی از مخلوط کردن تمامی واحد های واقعی ، قلب تحلیل پوششی داده هاست .

حال اگر این واحد مجازی از واحد مورد بررسی بهتر باشد ، یعنی با ورودی های مشابه و مساوی واحد مورد بررسی ، واحد مجازی خروجی های بیشتر را عرضه یا به ازاء خروجی های مشابه و مساوی به ورودی های کمتری نیاز داشته باشد ، واحد تحت بررسی غیر کارا می‌باشد .

(شکل شماره ۴-۲: واحد مجازی)

در نمودار فوق A و B غیر کارا هستند . تصویر A روز مرز کارایی واحد D است . ‌بنابرین‏ واحد D یک واحد همتا برای واحد A خواهد بود که یک واحد واقعی است. در این حالت Aبا واحد واقعی D مقایسه خواهد شد .

واحد های همتا مجموعه واحد هایی هستند که روی مرز کارایی یا روی بهترین مرز عملکردی قرار می گیرند .

اما تصویر B روی مرز کارایی ‘B است ، که بین دو واحد D و E قرار گرفته است . واحد B را می توان از ترکیب وزنی دو واحد واقعی D و E به دست آورد . ‌بنابرین‏ ‘B یک واحد مجازی و واحد همتای B خواهد بود . ( مهرگان،محمد رضا .۵۹، ۱۳۸۳ ).

۲-۸)مدل نسبت CCR ^[۳۴]

در اندازه گیری کارایی نسبی واحد ها ، فارل برای ساختن یک واحد مجازی بر مجموع موزون واحد ها متمرکز نمود و به عنوان یک وسیله سنجش متداول برای اندازه گیری کارایی فنی رابطه شماره ۶-۲ را پیشنهاد کرد .

=کارایی

( رابطه شماره ۶-۲)

در صورتی که هدف بررسی کارایی n واحد که هر کدام m ورودی و sخروجی است ، کارایی واحد j ام ( j=1,2,…,n ) به صورت زیر محاسبه می‌گردد.

=کارایی واحدj ام

که با توجه به شکل زیر

میزان ورودی i ام برای واحد jام ( i=1,2,…,m )

میزان خروجی r ام برای واحد jام(r=1,2,…,m )

وزن داده شده به خروجی r ام ( قیمت خروجی r ام )

وزن داده شده به ورودی i ام ( هزینه ورودی i ام )

مورد مهم در رابطه فوق این است که این وسیله سنجش کارایی ، نیازمند مجموعه ای از وزن ها است که برای تمامی واحد های تحت بررسی مورد استفاده قرار گیرد . در این رابطه به دو نکته باید توجه داشت اول این که ارزش ورودی ها و خروجی ها می‌تواند متفاوت و اندازه گیری آن ها مشکل باشد و از طرف دیگر ممکن است واحد های مختلف به گونه ای عملیات خود را سازمان دهند که خروجی هایی با ارزش متفاوت ارائه کنند . لذا نیازمند متفاوتی در اندازه گیری کارایی می‌باشند .

چارنز ، کوپر و رودز مشکل فوق را شناخته و برای حل این مشکل در مدل خود به ورودی و خروجی ها وزن های متفاوتی را اختصاص دادند و واحد هایی را مطرح کردند که می‌توانند وزن هایی را که برای آن ها متناسب تر و روشن کننده تر در مقایسه با سایر واحد ها باشد بپذیرند . در تحت این شرایط مدل ارائه شده آن ها برای ارزیابی واحد تحت برررسی از حل مدل برنامه ریزی خطی زیر به دست می‌آید .

برای ساختن مدل فرض کنید که n واحد موجود است و هدف ارزیابی کارایی واحد تحت بررسی ( واحد صفر یا DMU ) که ورودی های ,,…. را برای تولید خروجی های ,,…,. مصرف می‌کند ، است .

در صورتی که وزن های تخصیص داده شده به خروجی ها ( یا قیمت خروجی ها ) با ,,…, و وزن تخصیص داده شده به ورودی ها با ,,…, نشان داده شود . آنگاه کسر زیر باید حداکثر گردد.

این روش را برای سایر واحد ها نیز باید انجام داد . ‌به این ترتیب

کارایی واحد صفر=max z

>=1 کارایی تمامی واحد ها:s.t

متغیر های مسئله فوق وزن ها بوده و جواب مسئله مناسب ترین و مساعد ترین مقادیر را برای وزن های واحد صفر ارائه و کارایی آن را اندازه گیری می‌کند .

مدل ریاضی آن به صورت زیر می‌باشد :

Max z =

S.T:

(,n…J=1,2,) 1 ≥

۰ ≤ و

( مدل شماره ۱-۲ )

در مدل شماره ۱-۲ اگر ، ها خیلی بزگ و ها خیلی کوچک باشد ، مقدار نسبت های بیان کننده محدودیت ها ، بی نهایت و نا محدود خواهد شد . برای جلوگیری از چنین مشکلی تمامی نسبت ها ( کارایی واحد ها ) را کوچکتر یا مساوی یک ، در نظر می گیرند و به عنوان محدودیت وارد مدل می‌کنند . لازم به توضیح است که در محدودیت ها به جای عدد یک ، هر عدد دلخواه مثبت دیگری مانند k می توان قرار داد . در این صورت کارایی واحد ها نسبت به سطح سنجیده می شود.

با توجه به تابع هدف مشخص می‌گردد که این مدل ، مدل غیر خطی و غیر محدب است که با حل آن مقدار متغیر های و برای اندازه گیری کارایی واحد های تحت بررسی به دست می‌آید .

مشکلی که در مدل سازی فوق وجود دارد که این مدل دارای بی نهایت جواب است زیرا اگر مقدار بهینه متغیر ها u و v باشد آن گاه دارای جواب بهینه دیگری به صورت ∞v و ∞u نیز هست . برای خطی کردن مدل فوق استفاده از روش مدل (( برنامه ریزی کسری )) و (( روش خطی کردن CCR )) می توان استفاده نمود .( مهرگان ، محمد رضا.۶۳، ۱۳۸۳ )

۲-۸-۱) مدل مضربی CCRورودی محور

به طور کلی مدل های تحلیل پوششی داده ها به دو گروه (( ورودی محور )) و (( خروجی محور )) تقسیم می شود که در ادامه با این مفهوم در مدل های مختلف آشنا خواهید شد .