برعکس، اگر و به ترتیب توزیع شرطی و باشند و مفصل شرطی باشد آن­گاه، تابع تعریف شده در (۱-۸)، تابع توزیع دومتغیره شرطی با توزیع­های کناری شرطی و است.

۱-۴ اسپلاین­ها

اسپلاین یک تابع چندجمله­ای هموار است که به صورت تکه­ای تعریف می­ شود و در نقاطی که تکه­ها به هم وصل می­شوند دارای درجه همواری خوبی است.
این تکه­ها با دنباله­ای از گره­های
تعریف می­شوند. به طوری که تکه­ها در گره­ها بهم می­پیوندند.
ساده­ترین حالت، اسپلاین خطی است.
برای یک اسپلاین درجه ، معمولاً چندجمله­ای­ها و مشتق اول آن­ها، در گره­ها مورد نیاز است، به طوری که مشتق پیوسته­اند.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

اسپلاین درجه را می­توان به­عنوان یک سری توانی ارائه داد:
که در آن
مثال۱-۲: اسپلاین خطی با یک گره
متداول­ترین اسپلاین­ها، اسپلاین­های مکعبی است:
که در طول این پژوهش از این اسپلاین استفاده می­ شود.

۱-۴-۱ اسپلاین­های درون­یاب

فرض کنید، مقدار تابع را در نقطه بدانیم و بخواهیم برای سایر ها درون­یابی کنیم.
اگر از یک اسپلاین درجه با گره­هایی در های مشاهده شده استفاده کنیم، تنها با مشاهده، پارامتر برای برآورد داریم. بدیهی است که قیدهایی لازم است. در ادامه دو نمونه از اسپلاین­های درون­یاب ارائه شده است.

۱-۴-۱-۱ اسپلاین­های طبیعی

اسپلاین درجه فرد ، که خارج از دامنه گره­ها (برای مثال کمتر از یا بیشتر از ) چندجمله­ای از درجه است، اسپلاین طبیعی نامیده می­ شود.
برای یک اسپلاین طبیعی
که این دقیقاً ، قید تحمیل می­ کند، بنابراین پارامتر کنار گذاشته می­ شود. اسپلاین طبیعی مکعبی خارج از دامنه داده ­ها خطی است. اسپلاین طبیعی مکعبی به صورت زیر نشان داده می­ شود:
به شرط قیدهای و ، به طوری که تا پایان پارامتر داریم.

۱-۴-۱-۲ اسپلاین­های مقید

این اسپلاین برای نشان دادن سایر قیدهای مرزی ارائه شده است برای مثال، هرگاه تابع در دنباله گره­های
تعریف شده باشد، اسپلاین و بعضی مشتقاتش در نقاط و ثابت در نظر گرفته می­شوند. به عنوان مثال، برای اسپلاین مکعبی، چهار قید لازم است بنابراین می­توان مقادیر اسپلاین و مشتق اول آن در نقاط و یعنی، ، ، و را ثابت در نظر گرفت. معمولاً، این مقدار ثابت را صفر در نظر می­گیرند.

۱-۴-۲ رگرسیون اسپلاین­

رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره، شکلی از تحلیل رگرسیونی هستند. این روش رگرسیونی، یک روش رگرسیونی ناپارامتری است و می ­تواند به­عنوان بسطی از مدل­های خطی که به صورت خودکار مدل­های غیرخطی و اثرمتقابل بین متغیرها را مدل­بندی می­ کند، در نظر گرفته شود.

۱-۴-۲-۱ مدل رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره

رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره، مدل­هایی به شکل زیر می­سازد:
این مدل، مجموع وزنی توابع پایه است که در آن هر ، ضریب ثابت است. هر تابع پایه به سه شکل زیر در نظر گرفته می­ شود:

1. 1. ثابت یک.

1. 1. تابع هینگ. تابع هینگ به شکل یا است. رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره، متغیرها و مقادیر این متغیرها را به ازای گره­های توابع هینگ انتخاب می­ کند.

1. 1. حاصل­ضرب دو یا بیشتر از توابع هینگ. این تابع پایه می ­تواند اثرمتقابل بین دو یا بیشتر از دو متغیر را مدل­بندی کند.

۱-۴-۲-۲ توابع هینگ

توابع هینگ بخش کلیدی مدل­های رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره هستند. تابع هینگ به شکل یا است، که در آن ، یک ثابت است که گره نامیده می­ شود.

۱-۴-۲-۳ فرآیندهای ساخت مدل

رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره در یکی از دو گام، گام پیشرو یا گام پسرو ساخته می­ شود.

۱-۴-۲-۳-۱ گام پیشرو

رگرسیون اسپلاین سازوار چندمتغیره با مدلی که تنها شامل یک ثابت (میانگین متغیرهای وابسته) است، شروع می­ شود. سپس تابع پایه دوتا دوتا به مدل اضافه می­ شود و در هر گام، جفتی از توابع پایه که ماکسیمم کاهش در مجموع توان دوم خطای مانده­ها را داراست، وارد می­ شود. هر تابع پایه جدید به واسطه تابع هینگ جدید شامل بخشی است که قبلاً در ضریب مدل (مثلاً ثابت یک) بوده است. تابع هینگ با یک متغیر و یک گره تعریف می­ شود، بنابراین برای افزودن یک تابع پایه جدید، می­بایست شرایط زیر را بررسی کرد:

1. 1. وجود بخش­ها (که در مفهوم بخش­های مولد نامیده می­ شود).

1. 1. همه متغیرها (برای انتخاب یکی از آن­ها به ازای هر تابع پایه جدید).

1. 1. مقدار هر متغیر (به ازای گره­ی تابع هینگ جدید).

این فرایند افزودن بخش­ها تا وقتی که تغییر در خطای مانده خیلی کوچک است یا ماکسیمم تعداد بخش­ها به دست می ­آید، ادامه دارد. ماکسیمم تعداد بخش­ها به وسیله کاربر قبل از شروع ساخت مدل تعیین می­ شود.

۱-۴-۲-۳-۱ گام پسرو